高一函数知识点总结归纳

高一函数知识点总结归纳

函数区间单调性的判断思路是：在给出的区间内任意选取两个数x1、x2，这两个数属于函数的单调递减区间D，并且满足x1小于x2。接着进行差值f(x1)与f(x2)的计算，并通过变形和配方，使其易于判断正负。根据变形后的表达式f(x1)与f(x2)的符号，可以判断出函数的单调性。

复合函数的单调性与构成它的函数u=g(x)与y=f(u)的单调性密切相关，遵循“同增异减”的规律。多个函数的复合函数遵循原则“减偶则增，减奇则减”。需要注意的是，函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能将单调性相同的区间合并表示为并集。如果函数在区间A和B上都递增，表示为f(x)的单调递增区间为A和B，不能表示为A∪B。

函数的整体性质包括奇偶性。如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)等于f(-x)，则函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)等于-f(x)，则函数f(x)为奇函数。无论函数是奇函数还是偶函数，其定义域一定关于原点对称。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

判断函数奇偶性的思路如下：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。然后判断f(x)与f(-x)的关系，若f(x)与f(-x)相等或比值为1，则函数为偶函数；若f(x)与f(-x)互为相反数或比值为-1，则函数为奇函数。

函数的最值问题主要分为二次函数和其他易于画出图像的函数。对于二次函数，通过配方法将其化为y=(x-a)²+b的形式，可以得出函数的最大值或最小值。对于其他函数，通过图像观察最值。对于二次函数在闭区间的最值问题，首先判断二次函数的顶点是否位于所求区间内。如果在区间内，则顶点为最小值或最大值，接着判断区间的两端点与顶点的距离，距离远的端点的函数值即为最大值或最小值。如果顶点不在区间内，则判断函数在该区间的单调性。如果函数在[a, b]上递增，则最小值为f(a)，最大值为f(b)；如果函数在[a, b]上递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)。

指数函数y=ax（a大于0且不等于1）称为指数函数，其单调性可以直观看出。对于任意指数函数y=ax（a大于0且不等于1），当a大于1时，函数在闭区间[a, b]上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；当0小于a小于1时，函数在闭区间[a, b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)。此外，对于任意指数函数，当x等于1时，函数值等于a。

对数函数y=logax（a大于0且不等于1）称为对数函数。对于任意对数函数，当a大于1时，图像为递增；当0小于a小于1时，图像为递减。所有对数函数的图像都过定点(1,0)。

幂函数y=xa（a属于实数）在高中阶段只研究第一象限的情况。所有幂函数在区间(0, +∞)内有定义，并且过定点(1,1)。当a大于0时，幂函数图像过原点，且在(0, +∞)区间为增函数，a越大，图像坡度越大。当a小于0时，幂函数在(0, +∞)区间为减函数。当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴；当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。2024-10-12